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150枚を超えるプリントを公開しました。 [家庭学習]

『計算力が土台』と常々書いていたのですが、手元にあったプリントを公開する作業を進めました。ここまでで 150枚以上 のプリントを公開しています。

https://sige-lab.info

すべての問題と解答はオリジナルですので出版社様の出版物とかぶることはありません。もし、同じ数字を使っていたっとしても「基礎レベル」ですので 誰が作っても大差ない と思います。


少し面倒そうなところは簡単な解説も入っています。


もう少し問題が残っていますので、近いうちに公開します。
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テープで遊んでみよう(4) [家庭学習]

先日、ふと「先生の役割ってなんだろう」と考えてみました。小中学校は「社会性の育成」つまり、クラスという集団の中で関係性を調整しつつ自分の力を発揮する場を作ってゆくことなのでしょう。でもそれだけではないですね。

そこで、「学んだ先の世界を見せる」という言葉を考えてみました。特に私達のような進学指導の専門家は「大学受験があるから勉強しろ」とは最後の最後しか言いません。僕の場合は専門の数学、得意分野の工学・物理学などのトピックを中学生や高校生がザクッとわかるように噛み砕いて解説することを大切にしてきました。「今、勉強をがんばればこんなことが理解できる」と思うと面白がって勉強してくれた生徒が多かったということでした。

どうしても、受験の結果(進学先)はわかりやすいですが、本来は進学してからどう進んでゆくかの方が大切なはずです。自分が頑張ることで社会の難問が解決できる、人の命を救うことができる、多くの人を笑顔にできると感じられれば子供たちは頑張ってくれます。そんな」「ひとつ先」を見せてあげることも牽制の大切な役割です。



mobiusloop3c.jpegさて、メビウスの輪の続きです。大きなメビウスの輪の中に小さなメビウスの輪が通っていますね。この理由をかんがえるために、次のような画像を準備してみました。



MobiusTape.gif作成の手順として、メビウスの輪を縦に3つにカットするためにテープを3色に分け、A・B・Cの名前をつけました。また表記上裏面には ' をつけて表記します。A'といえばテープAの裏面という意味です。

このテープをくるっと回して端と端をくっつけてメビウスの輪を作ります。そうするとテープのつながりは次のようになります。

A ⇒ C’ ⇒ A , C ⇒ A' ⇒ C :大きなメビウスの輪の表裏
B ⇒ B' ⇒ B  :大きなメビウスの輪をくぐっている小さなメビウスの輪

大きなメビウスの輪は A⇒C'⇒A と B でできる小さなメビウスの輪をまたぐ形でつながります。これが「くぐっている」理由です。


この問題で興味深いところは「結果が面白い」というだけでなく、分解して考えると「当然のこと」とみえるところにあります。「なんで?」とかんがえるとき、「分解する」ということは理解するための第一歩です。そんな「考え方」も子どもたちにとっては面白いと思います。


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新型コロナウイルス感染拡大防止のための休校措置が続いております。特に受験を控えた小中高校生やその親御さんは不安な日々をお過ごしのことと思います。僕になにかできることがあればと思い、相談チャンネルを開設しました。

今の所はメールのみで stem.sendai.miyagino(アットマーク)gmail.com です。
(5/1 Zoomでの対応を研究中です)

宮城県内限定で相談に対応させていただきます。なお、僕自身も再任用とはいえ現職の身ですので、お話できない内容もあることをご了承願います。

相談内容は、数学の学習に関すること、受験勉強に関することに限定させていただきます。
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テープで遊んでみよう(3) [家庭学習]

mobiusloop2c.jpeg同名の記事では「メビウスの輪」を作って、縦にカットしてみたときの変化をしらべていました。縦に2本にカットした場合は、大きなメビウスの輪ができました。メビウスの輪をカットしたら大きなメビウスの輪ですので、あまりおもしろみのない結果とも言えます。



mobiusloop3a.jpeg次にメビウスの輪を縦に3本にカットする場合を考えます。前回に準備したペーパーを太線でカットすると1本〜5本のまとまったテープが切り出されます。今回はその中でも3本まとまったテープを使います。

これも、1本のメビウスの輪にしてから縦線にそって3つにカットするので、メビウスの輪を作る前に両端を1cmずつくらい残して真ん中をカットしておきます。写真が見にくいかもしれませんが、この写真も切れ目が入っています。


mobiusloop3b.jpegこのテープをくるっとひねって糊付けして1本のメビウスの輪を作ります。糊が乾いたら「糊代」の部分だけ残っていますので、そこをカットします。

さて、何ができたでしょうか?

答は、明日にさせてください。


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不思議な計算(3) [家庭学習]

以前の記事「不思議な計算」「不思議な計算(2)」の計算をやってみていただけたでしょうか。もし、最初にこの記事を見たのであれば、ぜひ遡っていくつかの数字で良いので計算をしてみてください。

この計算は「コラッツ問題」とか「コラッツ予想」と呼ばれる計算で、ドイツの数学者 Lothar Collatz により1937年に提示された問題です。しかし、これは数学的には有名な「未解決問題」の一つです。これが解決できれば数学史に名前が残りますので、未解決問題に自分が立ち向かえるはずがないなんて消極的にならずに挑戦してみると新しい世界がひろがる気持ちが味わえます。

この問題に関しては、一つ一つの計算だけなら小学生でもできます。特定の数について確かめることならコンピュータでもできます。繰り返し計算(ループ)を回せば、「多倍長計算の問題」「オーバーフロー」の問題はでてきますが、相当の範囲についても確かめることができます。

残念ながら「数学の証明」というのは「すべての場合について正しい」ことを示すことです。特定の数(「ある場合」)について確かめられたから他の場合も成立すると考えることは証明とは言いません。

中学生が悩む「証明」も突き詰めると「正しいとは何か」という問いかけにつながります。ここに注目できればあの面倒な手続き(「仮定」「結論」「証明」の流れ)の価値が理解できます。ここの考え方はあらゆる勉強の土台となります。現代文を読んでいても「仮定はなにか」「何を言おうとしているか」「推論をどう進めているか」をチェックするとよく読めてきます。数学の学習は「論理的思考」という点で日常生活に重要な役割を果たしています。

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1+2+2+4+・・・・(2) [家庭学習]

「1+2+3+4+・・・・」最後が10なら暗算で足しても大したことはありません。最後が100なら、電卓を使えばいいでしょう。逆に、合計した数字から引いてみると確かに0になるか?はちょっとした頭のトレーニングになります。

cube0.jpgでも、その前に「目で見て」理解できないかを考えてみよましょう。材料は100円ショップの園芸コーナーで売っている小さなキューブです。4つ購入して400円です。子供さんといろいろと遊んでみるには高くない出費です。

このキューブを使って 1+2+3+4+5 をどう表現できるでしょうか。どう準備したら視覚的にうまい整理ができるでしょうか。工夫してみてください。解答は次回です。


この計算は、18世紀のドイツが生んだ最も著名な数学者のガウスが7歳の時に解いて見せた方法です。もし、小学校1年生でこの方法が思いついたら「ガウス並みの頭脳」かもしれません。

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1+2+3+・・・ [家庭学習]

こういう時期でもあるので「小学生でもわかる数学」をテーマに様々なネタを公開しています。しかし、簡単な数学でも応用されているものも多く、今、遊んでいる「メビウスの輪」も「エンドレステープ」(スーパーなどで同じフレーズを繰り返し流してくれるカセットテープ)に応用されている(らしい:僕自身はテープを聞いたことはあるが、実物をまじまじと見たことはない)というのがwikipediaの情報です。

さて、メビウスの輪は実際に遊んでいただく時間をもう少しとって、新しい話題を提供します。

1+2+3+4+・・・・+100

を簡単に計算できないでしょうか。ここからどんな数学が見えてくるでしょうか。とりあえず、上の計算を子どもたちと一緒にやってみましょう。電卓をたたいてもいいですよ。


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不思議な計算(2) [家庭学習]

以前のタイトル「不思議な計算」の計算はやってみたでしょうか。

小さい数から始めると、計算量はたいしたことがありません。

11から始めてみれば、
11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

と14回の計算で1になって終了します。
しかし、大きな数となると大変です。

そこで、プログラムを書いてみました。



HTMLページの中にこのコードを埋め込んで、


適当な整数値を入れてください。 値:
で呼び出すと計算をしてくれます。自分でHTMLを書いたことがある、勉強したいと思っている人は適当なHTMLファイルにこのコードを埋め込んで実行してみてください。
うまく行かない人は http://www016.upp.so-net.ne.jp/sige-lab/2009/Math/Collatz.html に公開してありますので、このページを利用してください。相当大きい数を入れても計算してくれるので便利です。
紹介のページは Javascript でプログラミングしてあります。これからの学習でも重要度が上がってくる内容です。コードを直接書いてあるので高校生レベルでしょうか。
僕はプログラミングの教育に関わるようになって30年以上となります。高校生を対象とするだけなので「実用的な高度なプログラミング」はできませんが、入門時点の教育は経験が豊富です。来年度から公務員をやめ、個人的に指導したいと思いSTEM(Science, Technology, Engineering and Mathematics)の名前をつけています。
興味を持っていただける方はご連絡ください。
追伸:Javascriptのコードを埋め込んでみたのですが表示はされないようです。ご容赦ください。また inputbox に入れた数字は Javascript で計算されて新しいページに表示されます。ブラウザの「戻る」ボタンでこのブログに戻ります。
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テープで遊んでみよう(2) [家庭学習]

今日はメビウスの輪を縦に2等分するとどうなるかとやってみた答です。

mobiusloop2a.jpeg最初に2本のリボンを準備します。あとで縦に2等分するので、糊付け用の両端を少し残して真ん中をカッターで切っておくと作業が楽です。(「どうやったら楽ができるか」作業前に考えることは、とっても大切です)


mobiusloop2b.jpegこのリボンを、くるっとひねってから張り合わせます。前の作業で真ん中に切れ目を入れているので変な感じはしますが、確かに1本のメビウスの輪になっています。


あわてて糊が乾かないうちに切ってしまうとテープがバラバラになってしまうので、ちょっとブレイクタイムだと考えるのもいいですね。将棋の世界でいう「読み」という表現がぴったりきますが、この時間に結果を予想すると良いですね。(お母さんを含め)何人かでやっている場合は、お互いの「読み筋」を交換すると良いでしょう。


mobiusloop2c.jpeg最後に残った糊代の部分をカットするとこのようになります。読み筋は当たりましたか?



よ〜くみると、なんの変哲のないメビウスの輪でした。さて、3等分するとどうなるでしょうか。ぜひやってみてください。
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テープで遊んでみよう [家庭学習]

昔の記事の書き直しで申し訳ないのですが、小学生でも遊べるので画像だけ使って書き直しました。

素材はここに公開してあります。くだらないExcelのワークシートですが、開いてプリントアウトしてみてください。
http://www016.upp.so-net.ne.jp/sige-lab/2010/Math/MobiusLoop.xls

mobiuslooppaper.jpegカットしたあとの画像とはなりますが、次のようなシートが印刷されます。


mobiusloopcut.jpegこれを画像のように切り出してみて1本のリボン・2本のリボン・3本のリボンを作ります。これを使って「メビウスの輪」を作ってみましょう。


mobiusloop1.jpegメビウスの輪の作り方は簡単で、端にのりをつけて輪にするときにひっくり返してくっつけます。半回ねじるところがポイントとなります。出来上がりを想像すると良いのですが実際に作ってみましょう。シートに色がついているので、なんとなくかわいいです。

ここでつくったメビウスの輪は最もシンプルなもので、表面をなぞってゆくと知らないうちに裏面に回ってゆくというものです。形としても不思議なものなので、ぜひ実際に作ってみましょう。

ここの問題は、このメビウスの輪を縦に2つ、もしくは3つに切ってみたらどうなるだろうかということです。

2本のリボン・3本のリボンでメビウスの輪を作って、中に残っている縦の線に沿ってハサミで切ってみましょう。そうすると完成します。カットする前にどうなるか想像するとおもしろいです。実際に作ってみましょう。作ったあとは、なぜそんな輪になったのか、その理由を考えましょう。そうするとより面白くなります。

答はしばらくしてから公開します。

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不思議な計算 [家庭学習]

数学の先生らしく不思議な計算を紹介します。この計算は前任の中等教育学校を希望する小学6年生を対象に紹介したこともある計算です。

問題ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
① 適当な整数を考えます。(書き出した方が良い)
② もし、その数が奇数ならば、3倍して1を加えます。
  偶数ならば2で割ります。
③ ②の計算の結果が1でなければ①へ戻ります。
  1になれば計算は終了します。
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計算例
最初の数を 23 として計算を進めてみます。計算をひとつひとつ書くと面倒なので、奇数を3倍して1を加えたときには --> で、偶数で2で割ったときには ==> でつなぎます。

23 --> 70 ==> 35 -->106 ==> 53 -->160 ==> 80 ==> 40 ==> 20 ==> 10 ==>5
   --> 16 ==> 8 ==> 4 ==> 2 ==> 1

1になりました。

これを参考に、いろいろな数で計算をしてみてください。
計算が終わらずに延々と続くでしょうか?
どんな数でも最後は1になって計算が終了するでしょうか?


数学の学習をする中で大切なことは

①予想すること と ②手を動かして計算すること

です。他の稿でも述べているように数学の基本は「早くて正確な計算」です。これは「計算する体験」からしか得ることはできません。小学生でもできる計算ですが、ぜひ紙を準備して計算してみましょう。

コロナウイルスの感染拡大防止とはいえ、せっかくの休校です。学校の先生が教えてくれないことを紹介してゆきます。


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