採点する先生の叫び

自分の試験ではないので笑って聞いている。叫びは簡単だ。「予想よりも平均点がひく～い」だ。

数学の学習に対する僕の理屈はこうだ。

計算力を土台として、しっかりとした土台の上に知識を組み立てなければいけない。

あたりまえのことを繰り返し書いているだけで、同僚の先生方にもこのように話しているだけだ。しかし、「できる」先生は「しっかりとした土台」がわからないらしい。

単元は数学Ⅱの三角関数の入り口部分だ。

ここがうまくいかない理由はただ一つ。三角関数の値が自信をもってスラスラ出てこないことにある。

tan(-60°) の値と聞かれて「う～ん」と考えてから －√3 と答えているようではいけない。

だから、僕自身も「つまんない」と感じながらもプリントを作って公開している。こんなつまんない問題集はどの会社も作ってくれない。だから、数学の試験前に困っている人は、試験勉強のスタート部分で使ってみてほしい。

https://sige-lab.info

一人でやっている作業なので、簡単には増えないのだがコツコツとは作業している。解答を丁寧に書いているジャンルもある。

150枚を超えるプリントを公開しました。

『計算力が土台』と常々書いていたのですが、手元にあったプリントを公開する作業を進めました。ここまでで　１５０枚以上　のプリントを公開しています。

https://sige-lab.info

すべての問題と解答はオリジナルですので出版社様の出版物とかぶることはありません。もし、同じ数字を使っていたっとしても「基礎レベル」ですので　誰が作っても大差ない　と思います。


少し面倒そうなところは簡単な解説も入っています。


もう少し問題が残っていますので、近いうちに公開します。

計算問題の公開を始めました

『数学は計算力が土台』はいつも書いているところですが、具体的に何だかわからないと思うので作りためていたプリントを公開しました。

一部、現勤務校の定期考査のためのチェック問題が入っていますので、これだけは丁寧に解説を入れています。

勤務校の生徒への公開をしていますので、トップに来るようにリンクを張りなおしています。おかげで本来のコンテンツへはつながらない状態になっていますが、目次だけは見れます。

https://sige-lab.info

しばらくの間は、プリント作成のための組版システム LateX のコードも公開しています。これはプリントの分量から近々に表示しないようにします。

数学の学習の基礎

数学の先生で「計算力」を軽んじている先生は少なくない。「慌てないで計算すればできるじゃないか」が言い分だ。

僕は逆だ。「計算力が学習の土台を作る。」と考える。

生徒に話すのは「解けているのに、途中の計算を間違えて正解できないのはもったいないよね」ということ。

教員として多くの答案を採点するとき、最後の計算結果が正しければ途中の計算に誤りがないかを見に行く。最後の計算結果が正しくないときは途中の計算も見ないということで、当然、中間点をつけても厳しくなる。

そのトレーニングは「短時間でのドリル」で行う。進学校の生徒であれば解けないことは絶対にないようなレベルの問題を、時間を測って、ヨーイドンで解かせる。個人で行う場合は目の前にスマホ等のストップウォッチを置くとよい。

このことの成果は

①　計算が早く、正確になる。
②　計算速度が上がることによって、考える時間に余裕ができる。

が直接的な効果だが、感触として「脳にスイッチが入るまでが早くなる」と感じる。比較したわけではないが、この取り組みをした学年は大学入試センター試験で歴代最高のスコアを出していることが証拠の一つではある。

たかだか計算ドリルだが、馬鹿にしてはいけない。

取り組み方は簡単である。

簡単な計算問題を準備する。レベルは「考え込む価値のないレベル」で良い。学校で使っていたのは、数研出版が数研の名前を使いたくなく、知研出版と名乗って出していた問題集である。レベルが知れよう。

この問題と計算用紙（きれいに書こうという考えは無駄である）を準備し、目の前にストップウォッチを出して、自分で「ヨーイ、ドン」をかけて始める。速度は１問あたり１０秒前後。１０問で１分程度と決める。ムチャと思うくらい短い時間がいい。

ストップウォッチに合わせて止めたら、答え合わせはしても、しなくてもいい。定積分の計算のような複雑な計算をするときや数学に強い苦手意識を持っている場合は、答えだけ合わせたほうがいいかな。

これを勉強の開始１分～２分でやる。これを週に４回程度、３週間続けるだけでよいので簡単だ。


と、同僚の先生に紹介するのだが、やって見せて、理屈を説明しても「賛同して取り入れてはもらえない」。難しいのは先生の脳みそなのかもしれない。

「答えが合っているから・・・」は数学がわからなくなる原因

この後も同様な事例を続けるが、高校入試中位レベルの高校生には「計算ができない」という生徒は希だ。単純な計算10問はすべて正しく計算できるのだが、多くは「字が汚い」上に計算順の通りに計算が記述されていない。思った通りに、好き勝手な場所に書きなぐっている。

このブログを通して書いてあることだが、書きたい場所に好き勝手に計算を書いては、後からその計算を見ても「自分で」理解できない。ひどい場合は事業に進む段階で誤読して違う数字で計算を続ける。

授業で「書き方が大切」とは話すが、それは「論理構造」のことではなく、書く場所、カッコの使い方、約分のタイミングなど計算の「書き方」のことである。

おそらく、中学までで数学が６０点前後で悩んでいる人はここを直すだけで８０点に寄ってくる。だから「個人指導が大切」と繰り返し書いている。また、「誤答案」に向き合うことも良い。

「誤答に学べ」は日頃から繰り返し話しているところだ。

しつこく言ってもなかなか治らない

高校進学直後によく見られる誤答例だ。




生徒の目からすると「±を忘れただけじゃん」と見えるようだ。こう見て自分の間違いを正当化しようとする生徒は中堅の高校に多い。

しかし、こんな生徒は伸びない。これも中学校段階で　×　にしておいてほしい誤答だ。

繰り返しになるが、ちょっとした誤りに目をつぶると、生徒は数学の学習に苦労することになる。このカテゴリーに共通した視点だ。

頭の中と書いていることが違う

確かに代表的な誤答だし、センター試験のような「答えが合えばいい」試験の勉強をしているときに見逃しても大きな問題にならない。しかし、この手の答案を書く生徒が難関大学に合格した例を知らない。




微分係数を求めることは、接線の方程式を求めるなど多くの場面で必要とされる。それでも接線の方程式を求める過程でもこのままで困らない。しかし、よく見るととんでもないものを＝で結んでいる。

最初の＝は微分したもので、＝の左には　f'(x)　が入る。

次の＝は　f'(x)　のxに 2 を代入したもので　f'(2)=　となっていることが正しい。

「誤答例」のテーマの根底には「学習段階でかける情けは生徒のためにならない」という主張がある。採点時に心を鬼にすることが心苦しければ、小テストをまめにやって、こまめに指摘することを根気強く続けるしかない。

幸いなことに、この指摘をされる生徒の学習意欲は低くなく、これまでの学習段階で個人的に誤りを指摘されたことはほとんどない。「ここさえちゃんとすればミスが減るよ」と優しく指導すれば嫌な顔をする生徒は一人もいない。

努力が報われるようになるのは生徒も同じだ。

わかったつもりで書いてはいけない。

高校生は「わかっている」と思って答案を書いている。いや、当たり前だ。しかし、雑な書き方をしても「わかっている」と確信する。その感覚が誤答に直結する。

ちょっと注意すれば正確に書けるのに。今回はミスに直結することは少ないが、あとから見直してみると何やっているのかわからなくなる書き方だ。




この場合、「微分しろ」という設定なので左辺には　y'　が来ることは想像に難くない。

しかし、想像しないと数式が正確に読めないということは根本的に間違っている。これも採点していると「y'しかこない」と読んでしまうので、つい仏心を出したくなる。

しかし、このような「いいかげんさ」は力がついてきてから生徒自身の足を引っ張る。つまり、「苦労して学習した努力を無駄にする」誤りだ。

カッコは大切

わかりきっていることに起因する間違いを直すことは難しい。授業中に口を酸っぱくして注意してもなかなかなおらない。もったいないからしつこく話すことを理解してくれないのは生徒が実在するのは悲しいことだ。

これも非常によく見かけ、ミスになる生徒の多いところだ。

タイトルのとおり、カッコの使い方だ。




書いた本人が「計算をわかっている」ことは認める。このように答案を書いてから次の行が正しく計算されている例も多い。答えが合っているということだ。

しかし、これは答えが合っているだけに「やっかい」だ。答えが違っていないから、生徒は自分が間違っていると自覚しない。しかし、このような答案を書く生徒は10問解くと１～２問間違える。他が正解なのでどこで間違えたのか理解できない。

僕自身が授業でしつこく注意するのは、「数学がわかるようになってから足を引っ張る」ことによる。つまり、難関大学の数学のように、正解にたどり着くまでに十ステップ以上の計算を要求される問題は一般的だが、（）を飛ばしてやった計算は肝心なところで足を引っ張る。答えが合わない。計算の間違いを探すのが難しい。

繰り返すが、この稿の目的は「ちょっとした工夫で正確に計算できるようになる」ような計算を間違えないところにある。ほんのちょっとした気遣いで正確に計算できるようになるなら、ちょっとした気遣いを大切にできるのではないか。

高校生も数学を教える先生にも注目してもらいたい。

「降べきの順」をバカにしない。

高校に入学して一番最初に習うものに「降べきの順」という数式の操作がある。数式の項を次数の高い順に並べるだけなので生徒はすぐにできるのだが、すぐにできるから理解できているとはいいがたい。「降べきの順」の重要さは整式の扱いに直結する点にある。例えば次の例だ。




同じような誤答は「因数分解」でも「二次関数」でも見受けられる。「誤答」タグのコンセプトは「もったいない、もったいない」にあるのだが、ちょっとした作業をさぼることで数学を難しくする、自分は数学が苦手たという失敗経験を積むことは本当にもったいない。

最近は「個人指導」に注目しているが、特に中学生高校生で、勉強しても数学の成績が出ない人は答案をじっくりと見直すか、それをもって教わっている先生の所へ相談にいくとよい。